读《数学与生活》远山启（日）著

翻阅这本书，就好像翻阅人类文明的发展史一样。因为人类使用文字最早的目的，就是为了计数。

这本书从数字的出现，一直讲到了微积分，虽然出版于 1959 年，今天读来，仍然让人对数学有焕然一新的认识。

本书购于 2021 年 11 月，购买后，发现书中的数学题和数学公式太多，需要很多时间，以及思考，就没有想着读。最近，看完《微积分的力量》和《怎样解题：数学思维的新方法》后，特别想要了解数学的历史，这本书就是首选，才决定要读完此书。

本书最后使用不定积分解决一些问题，出现了成篇成篇的公式，让我回忆起了初中、高中和大学时代那些学习数学的时光，也让我想起了多位数学老师，他（她）们努力地传授数学知识，尽力为学生展示了数学的神奇。限于学校以考试为评价标准，也使得当时学习数学是功利的，本书的作者和中文译者，想要向读者展示数学有趣迷人的一面。

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本文记录在读书过程中产生的一些思考，而不会研究数学定理。

从直角三角形到灵魂不朽

毕达哥拉斯（前570年—前495年）游学四方，有很多成就，包括哲学、数学、音乐。他发现了三角形的两直角边的平方和等于第三边的平方，并由此认为人的灵魂是经历轮回的。

他创建了“万物皆数”的宗教，并且吸收了很多门徒，他喜欢穿着白色的袍子，给学生们讲他研究的几何知识。后来，他的学生依靠传播他的知识谋生。

从无理数到无穷

最开始，数只有正整数，后来出现了零，接着出现了分数。分数的出现是个大难题，因为有除不尽的情况，从此人类就陷入了对【无穷】的恐惧中，甚至这个问题一直到牛顿和莱布尼茨建立微积分体系一百五十年后，才由柯西 ¹ 解决。这期间，人类建立的【数】的体系，又出现了负数、小数、无限循环小数、无限不循环小数、复数。笛卡尔说，可以用长度度量一切。但是，人类对于一条直线包含多少数，花了上千年，一群精英花费了一生的时间。

每一次新的数的发现，都带来了数学界乃至社会的恐慌，比如 0 的出现、负数的出现、无理数的出现、无穷小的使用等。不只是数学家和数学家之间针对这些理论争论不休，而是佛教徒、基督教等组织，也会害怕这些概念的出现，而进行施压，比如一个僧人管理者直接指出牛顿的微积分是伪理论。

罗马距离数学最近的时刻

古罗马人是一群暴徒，靠着抢劫度日。他们喜欢健身，不擅长数学，有一个嘲笑古罗马人的西方笑话是这样说的，罗马人距离数学最近的时候，是在阿基米德家里杀害了他。阿基米德在罗马人攻入他的城市的时候，他正在思考一道数学题，因为过于专注完全没有意识到危险。

阿基米德这样的大数学家，是罕见的，后来过了一千多年，直到伽利略出现，才出现能和阿基米德比肩的数学家。

学习《几何原本》训练逻辑思维

《几何原本》是欧几里得（前325年—前265年）所著的包含 465 个定理的书。15 世纪出现古登堡活字印刷术之后的数百年，《几何原本》和圣经是欧洲文化的两根支柱。几何原本中的公理，写的都是【任何人都无法反对】的事情，然后从此出发证明一个个定理。其意义：

• 给出了一套交流语言，定义了术语，人们使用术语沟通；
• 给出了一些直接可用的定理，因为这些定理得到了严格的证明；
• 给出了如何使用大脑进行逻辑分析的范例。

这本书长期的作为英国牛津、剑桥、巴黎等大学的数学必修课，也遭受了不少诟病，比如一些定理的证明，采用了复杂的方法，或者定理很难理解。

欧几里得为几何这门学科布道，一位国王问“虽然学习了几何，但是并没有感到对统治国家有帮助”，欧几里得回答是，“几何并不是统治术”。从这个事情出发，可以有两点联想：

• 社会对数学是非常重视的，国王会学习几何；
• 几何确实帮助国王，人类社会的每个阶段 ² 都是受益于数学的发展，欧几里得回答大有避嫌的可能。

工业革命的推手

当欧洲发现美洲后，大大刺激了商业发展，一系列新的问题，比如商品的流通中，需要更快的交易和物流，借贷出现，这就要依靠大量的数学运算。又比如，航海中要计算航线，距离等，也要借助数学。数学家很好的解决了这些问题，使商业大发展。

数学和工业化成为彼此的推手，那时候的欧洲有很多国家的国王想保有封建统治而遏制商业，打击商人，其实，这些国王还需要打击数学家，如此一来，国王的统治也就更弱了：国王治理国家还必须依赖数学家，比如上税。这个是无解的问题，成也萧何，败也萧何。

一道尺规作图题

题目是这样的，只能使用直尺和圆规，做出与给定圆的面积相等的正方形。这道题是约公元前 500 年就被提出的一个问题，人们思考了两千多年，直到 19 世纪初才解决。为此在 1775 年，巴黎学士院还贴出公告，不再接收这道题的解法，因为当时的学者、数学爱好者，持续不断的将这道题的解法发送，巴黎学士院已经被这道题搞得精疲力竭了。

这道题肯定是一个难题了，但是一个社会有这么多人乐此不疲的去解决，真让人赞叹：一方面肯定是成功的解决会获得巨大的回报，一方面也说明社会中有大量的【数学家】。

高斯和伽罗华

这两位天才将数学体系推广了新的高度，相当于青蛙从井里跳了出来，看到了更广阔的数学天地。

笛卡尔和费马，开辟了解析几何，相当于处理数学问题时，对符号做了一次大版本升级，用更抽象也更灵活去解决问题。而高斯则推进了复数和尺规作图，伽罗华则发现了群论。

符号的重要性

在数学中，人们使用一种【语言】，这门语言是不断的发展的，开始都是文本描述，后来出现了专门的符号来抽象化，而这种抽象是对思考大大有利的，如果没有用这套符号系统，那么证明和解题要费很多事。抽象的符号提升了效率，过滤了不需要的信息，让思考更灵活，更容易观察和猜想。

现代的微积分中，使用的符号，主要来自于莱布尼茨。莱布尼茨也发明了一些被淘汰的符号。据说，莱布尼茨活着时候，就被誉为最聪明的人，人们为他作的书中的智慧折服。

我按原样复活

莱布尼茨的一位学生雅各布伯努利，对微积分也做出了巨大的贡献，而他特别的喜爱一个曲线 - 对数螺旋曲线，就是海螺贝壳的那样的曲线。他之所以喜爱这个曲线，是因为不论把该曲线放大缩小、旋转，这条曲线都可以和原曲线重合。临死前，雅各布留下遗言，在墓碑上，刻上这条曲线，并撰文：Eadem resurgo。这句话的意思是：不论有多大变化，我按原样复活。

万物彼此关联

现在，我们知道量子缠绕理论，以及使用人工智能技术。这些的背后，隐含的道理是：万物彼此关联。不单是跨越地理，也跨越时间。知道此处的状态，就可以预测彼处。现在不是孤立的，它和过去、未来紧密相连。

这并不是高高的哲学道理，而是已经为人类所运用的各种各样的产品和技术了。比如在面部手术前，做一个术后康复的模拟。

而人类从什么时候，就掌握了这种上天入地的神通般的能力了呢？

在《数学与生活》这本书中，介绍了一位奠基者：帕斯卡。帕斯卡的贡献是发现了帕斯卡三角形 ³ ，为无穷级数、高斯分布、泰勒展开定理提供了基础。此外，帕斯卡还对概率论有巨大的贡献。

在微积分以前的数学，都是研究静态的数学的，标准的图形的。比如伽利略已经研究了加速度，但是人在曲线面前，还是没有成理论的工具。伽利略的实验都是努力的打造理想的环境，让误差可以忽略，难以在现实中有大用处。使用了微积分以后，人们就掌握了上天入地的神通。

数学是信仰

数学是信仰，在几千年的发展中，数学屹立不倒，证明了理性智慧无边。大数学家拉普拉斯（1749-1827）兴奋的写道：

• 我们应当把宇宙现在的状态，看成是过去状态的结果和未来状态的原因。
• 假如我们能够知道，在任意的瞬间，使自然界运动的一切力和构成自然界的物体相互位置的这种智能 - 为了分析那些资料而需具备的巨大的智能的话，就可以用一个统一的公式把巨大的天体运动和微小的原子运动都包含进去。这样，不确凿的事物，就能立刻呈现出其过去、现在和未来的面目。

后来的人们，把拉普拉斯说的这个【这种智能】称为拉普拉斯魔法，就是把宇宙看成是一个大的微积分方程。

后记

这本书内容丰富，有很强的故事性，但是对数学知识的介绍，还是非常深入的，有许多的定理、证明题。

这本书在中国的第一次出版是 1988 年，并于 2010 年再次精译，译者团队也是中国数学教育领域里的先行者。作者和译者为读者呈现了一本不可多得的好书。