微积分的力量 by Steven Strogatz

本书购于 2021 年底，当时的目的是恢复对于数学的兴趣，在生活中增加使用数学的比重，尤其是为了学习财务知识。这是一本让我感到震撼的书，我有一个天平，在一边放上《金刚经》，那么能让天平平衡，另外一边只能放上《微积分的力量》。

了解熟悉微积分，用微积分的眼光看问题的人，可以根据现在，预测未来，所以这个人就成为了“觉悟者”¹，佛就是觉悟了的人。

以下为本书的读后感，购书链接：https://item.jd.com/10026001060386.html

最不可思议的事

什么是这个世界的最不可思议之处？爱因斯坦说，这个世界可以被人理解。也就是任何事，任何事，都被规律支配着，而人可以理解这些规律。很多科学家都被有神论的体制迫害，但是他（她）们的工作最终证明了神的存在。

因为这种信念，催生了人的创造力的无限释放。我们的所有问题，比如重生涅槃，似乎都可以坚定的说：如果我可以活一次，为什么不能再活一次？站在佛陀、尼采身后的，是数学家，他（她）们在最微观的世界和最宏观的宇宙任意奔驰，发现了被人理解的规律。

这个世界，不管是运动物体，还是静态物体，都是由无穷小的物体组成，每个无穷小之间彼此联系，它们虽然不断的变化，但是就像波浪一样，前一个无穷小和它附近的无穷小的行为是交织的，所以根据一个无穷小的行为可以预测它附近的无穷小。不管是股市、细菌繁殖，等等都如此。

微积分就是用一套符号系统，把几何的问题变成代数的方程，预测形状的变化、面积、周长就是求解方程。

运用微积分取得极大成绩的人，往往是：1）精通微积分；2）对一个未解之谜提出猜想；3）用微积分去求证猜想。比如麦克斯韦发现了电磁场，证实了光实际上是一种电磁波。

思路很简单，但是花了数千年才解决：1. 如果小问题是无穷小怎么求解；2. 如果物体的形状是不规则的曲线，如何积分。

在微积分发展的道路上，牛顿的研究成果是里程碑，其最光辉的意义在于将原来分散发展的数学理论统一到一个体系下：微积分学。和牛顿共同享有这个美誉的是莱布尼茨。

数学的诞生是在日常生活中，比如代数出现就是为了记录羊群羊的数量，几何的诞生是划定土地的界限。

在代数出现之前的十几个世纪，几何学发展非常缓慢，公元前 212 年阿基米德去世，在漫长的岁月，没有人能超越他。

代数的出现，最开始是文字题：问题、求解过程、结论都是像食谱一样，全是描述性文字。直到欧洲文艺复兴，现代的代数，才真正出现：使用 xyz 表示未知量, 使用 abcd 表示常量。这样形成了一种代数的符号系统，使得方程求解容易很多。

在 1630 年前后，两位法国的数学家：费马和笛卡尔，分别将代数和几何联合起来，这是一门新的学科：解析几何。最简单的例子就是，用 xy 坐标系²来描述变量之间的关系。

他们都发现，从圆柱体切割刨面得到的曲线（比如一个椭圆形），可以在xy坐标系 内使用一个二次方程表示，比如下面的方程，实际上是一个椭圆。
x² + 2y² = 4

所有的圆、抛物线、双曲线、椭圆都是可以用方程建立。这是一个巨大的飞跃³，从此，任何几何问题的求解，都先转化为代数问题。

像费马这样的大数学家出现，人类研究的问题就和现代科学更加接近，比如费马研究光在两种介质间传播，为什么会产生方向改变？光为什么在均匀介质中沿直线传播？这也给哲学发展带来影响，莱布尼茨后来说，“我们所处的世界，是所有世界中最好的一个”。

可以说，是代数和几何的联合，让人类开始在发现宇宙规律的道路上真正启程了。

费马为微积分的出现铺平了道路，他的成果深深的揭示了这个世界的运作有规律，他甚至发现了，光传播的路径总是验证时间最短的原理。但是，直到牛顿和莱布尼茨的出现，才将方程与曲线，代数与几何，静态和运动，完美的统一。

17 世纪下半叶，英国的牛顿和德国的莱布尼茨彻底的改变了数学的进程。他们把运动和曲线的思想拼凑在了一起，创立了微积分。牛顿在微积分领域，是站在了哪些巨人的肩膀上？

首先，牛顿数学非常好，将幂级数、方程、曲线玩的溜溜转。得到了剑桥三一学院校长的刮目相待。

其次，牛顿大胆猜想，求证过程左右开弓，不受当时主流观念的影响。当时主流观念认为无穷小思想是不严谨的，基于无穷小的计算是旁门左道。

再次，牛顿不需要亲人⁴，没有朋友⁵，无限的时间用来做题。

牛顿成功的关键，在于幂级数的使用，即任何曲线都可以用幂级数表达，在幂级数的帮助下，求积分、解代数方程的根、计算非代数函数的值，都可以解决。

因为太喜欢使用幂级数了，以至于牛顿陶醉于其中，他说自己羞于告诉别人使用幂级数将结果计算到了小数点多少位。那么牛顿手工的计算对数值达到了多少位呢？50 位。

以微积分的创立为分水岭，科学发展的历史可以看成是：

阿基米德（几何）、毕达哥拉斯（代数） -> 笛卡尔、费马（XY坐标系内几何和代数的对应物）-> 牛顿（使用微积分解决任意曲线、运动问题）-> 电磁场、量子、人工智能等

因为有了这些启发，让我有《微积分的力量》和《金刚经》是同样的让人大彻大悟的观点。